Question

19．設(shè){a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2n-1）a_n求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a₁=2，a₃=a₂+4可求得q，即可求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵設(shè){a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴設(shè)其公比為q，q＞0
∵a₃=a₂+4，a₁=2
∴2×q²=2×q+4，
解得q=2或q=-1．
∵q＞0，
∴q=2，
∴{a_n}的通項公式為a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ．
①當(dāng)n=1時，S₁=b₁=2；
②當(dāng)n≥2時，
S_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得
-S_n=1×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4×（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6．
∴S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．
經(jīng)驗證，當(dāng)n=1時，也適合S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．
故數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．