Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)p：x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，q：|f（x）-m|＜3，若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用輔助角公式或二倍角的基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)p是q的充分條件，即p⇒q，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，：|f（x）-m|＜3恒成立，可得m的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
化簡(jiǎn)得f（x）=$1-cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}cos2x-1$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5}{12}$π，（k∈Z）；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5}{12}$π]（k∈Z）；
（2）由p是q的充分條件，即p⇒q，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
2x$-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴1≤f（x）≤2，
∵|f（x）-m|＜3，
∴-3＜f（x）-m＜3，
即-3+m＜f（x）＜3+m，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-3+m＜1}\\{3+m＞2}\end{array}\right.$，
解得：-1＜m＜4
∴m的取值范圍為（-1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．