Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（3，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求sin²x-6cos²x的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，求函數(shù)f（2x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行，求出tanx的值，從而求出代數(shù)式的值即可；
（2）求出f（2x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性解出f（2x）的遞減區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（3，-1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴3sinx-$\sqrt{3}$cosx=0，解得：tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故sin²x-6cos²x=$\frac{{sin}^{2}x-{6cos}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{{tan}^{2}x-6}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{27-6}{27+1}$=$\frac{3}{4}$；
（2）f（x）=3sinx-$\sqrt{3}$cosx=2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
f（2x）=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈N，
故函數(shù)的遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈N．

點評 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的數(shù)量積的運算，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．