Question

18．設(shè)函數(shù)y=f（x）在x₀處可導(dǎo)，f′（x₀）=a，若點(diǎn)（x₀，0）即為y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)，則$\underset{lim}{n→+∞}$[nf（x₀-$\frac{1}{n}$）]等于（　�。�

• A． +∞
• B． a
• C． -a
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 根據(jù)f（x_o）=0可將 $\underset{lim}{n→∞}$[nf（xo-$\frac{1}{n}$）]等價(jià)變形為-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，再結(jié)合f（x）在x_o處可導(dǎo)即可求解．

解答 解∵f（x_o）=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$nf（x_o-$\frac{1}{n}$）=-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，
∵f（x）在x_o處可導(dǎo)，
∴$\underset{lim}{n→∞}$nf（x_o-$\frac{1}{n}$）=-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$=-$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f{（x}_{0}+△x）-f{（x}_{0}）}{△x}$=-f′（x₀）=-a，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查極限及其運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是要將題中所述極限轉(zhuǎn)化為-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}-\frac{1}{n}）-f（{x}_{0}）}{-\frac{1}{n}}$，再根據(jù)n→∞時(shí)-$\frac{1}{n}$→0再轉(zhuǎn)化為-$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{f{（x}_{0}+△x）-f{（x}_{0}）}{△x}$，然后再結(jié)合f（x）在x_o處可導(dǎo)才可求解．此題充分活用了極限和可導(dǎo)的定義，技巧性較強(qiáng)，屬中等難度的試題．