【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(2)令函數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),判斷與的大小,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)或時(shí),在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;(2).
【解析】
(1)求出,分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出在上有唯一零點(diǎn),由已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則,得,令,故,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出零點(diǎn)的分布情況,從而可求出的取值范圍即可.
(1)由已知,且,
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),,
則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí),即或時(shí),有兩個(gè)根,
,因?yàn)?/span>,所以,
1°當(dāng)時(shí),令,解得,
當(dāng)或時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
2°當(dāng)時(shí),令,,
解得,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增;
3°當(dāng)時(shí),令,解得,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(2)函數(shù),
則,
則,所以在上單調(diào)增,
當(dāng),所以
所以在上有唯一零點(diǎn),
當(dāng),所以為的最小值
由已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則
所以則
則,得,
令,所以
則,所以,
所以在單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>,
所以在上有一個(gè)零點(diǎn),在無(wú)零點(diǎn),
所以 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如圖4,在四棱錐中,底面是矩形,
平面,,,于點(diǎn).
(1) 求證:;
(2) 求直線與平面所成的角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,一次測(cè)試中,科任老師從本班中抽取了n個(gè)學(xué)生的成績(jī)(滿分100分,且抽取的學(xué)生成績(jī)均在內(nèi))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.按照,,,,,的分組作出頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表.
頻數(shù)分布表 | |
x | |
4 | |
10 | |
12 | |
8 | |
4 |
(1)求n,a,x的值;
(2)在選取的樣本中,從低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生,試問(wèn)這兩名學(xué)生在同一組的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是以為直徑的半圓上異于點(diǎn)的點(diǎn),矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面,且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個(gè)交點(diǎn)為,
①求證://;
②若,求三棱錐E-ADF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線,的公共點(diǎn)為.
(Ⅰ)求直線的斜率;
(Ⅱ)若點(diǎn)分別為曲線,上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)取最大值時(shí),求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某學(xué)校高二年級(jí)男生中隨機(jī)抽取名測(cè)量身高,測(cè)量發(fā)現(xiàn)被測(cè)學(xué)生身高全部介于和之間,將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成組:第組,第組,…,第組,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)這名男生身高的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)求這名男生當(dāng)中身高不低于的人數(shù),若在這名身高不低于的男生中任意抽取人,求這人身高之差不大于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,是正三角形,平面平面,分別是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若是線段上一點(diǎn),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī),得到如下所示的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計(jì) | |
甲班 | 10 | b | |
乙班 | c | 30 | |
總計(jì)105 |
已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成績(jī)優(yōu)秀的概率為,則下列說(shuō)法正確的是( )
參考公式:
附表:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
A.列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35
B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50
C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”
D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的可靠性要求,不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某森林公園有一直角梯形區(qū)域ABCD,其四條邊均為道路,AD∥BC,∠ADC=90°,AB=5千米,BC=8千米,CD=3千米.現(xiàn)甲、乙兩管理員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往D地,甲的路線是AD,速度為6千米/小時(shí),乙的路線是ABCD,速度為v千米/小時(shí).
(1)若甲、乙兩管理員到達(dá)D的時(shí)間相差不超過(guò)15分鐘,求乙的速度v的取值范圍;
(2)已知對(duì)講機(jī)有效通話的最大距離是5千米.若乙先到達(dá)D,且乙從A到D的過(guò)程中始終能用對(duì)講機(jī)與甲保持有效通話,求乙的速度v的取值范圍.
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