Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+a（a＜0），若f（x）在區(qū)間[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上單調(diào)，求數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是拋物線，a＜0，
所以開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，
所以函數(shù)f（x）在[2，3]單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=2時(shí)，y_max=f（2）=2+a=1，
∴a=-1-----------------------（5分）
（2）因?yàn)閍=-1，∴f（x）=-x²+2x+1，
所以g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+1，
$g（x）的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=\frac{2-m}{2}$，
∵g（x）在[2，4]上單調(diào)，
∴$\frac{2-m}{2}≤2，或\frac{2-m}{2}≥4$，
從而m≤-6，或m≥-2
所以，m的取值范圍是（-∞，-6]∪[-2，+∞）----------------------------------------------------（10分），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．