Question

18．已知二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，0），對于任意的x∈R有f（x）≤1恒成立，且f（2-x）=f（2+x）
（1）求f（x）的解析式．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+ax，x∈[-1，2]的最大值為h（a），求h（a）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出對稱軸，求出最大值點，函數(shù)的零點，然后寫出解析式即可．
（2）化簡函數(shù)的解析式，求出對稱軸，利用對稱軸所在位置，求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）知二次函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），可知函數(shù)的對稱軸為：x=2，二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，0），可知函數(shù)的圖象經(jīng)過（3，0），對于任意的x∈R有f（x）≤1恒成立，可知x=1時，函數(shù)的最大值為1，可得二次函數(shù)f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+ax=x²-4x+ax+3，x∈[-1，2]，
函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{4-a}{2}$=2-$\frac{a}{2}$，
當(dāng)2-$\frac{a}{2}$$＜\frac{1}{2}$時，即a＞3時，函數(shù)g（x）的最大值為：g（2）=2a-1．
當(dāng)2-$\frac{a}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即a≤3時，函數(shù)g（x）的最大值為：g（-1）=8-a．
函數(shù)g（x）=f（x）+ax，x∈[-1，2]的最大值為h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-1，a＞3}\\{8-a，a≤3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．