【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|ax-x2|+2b(a,b∈R).
(1)當(dāng)b=0時(shí),若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)已知a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
【答案】(1)[0,2];(2)見解析
【解析】試題分析:(1)不等式恒成立問題,一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題:恒成立,即,即得實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)先分離轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)交點(diǎn)問題:x|a-x|=-2b,根據(jù)a與[0,2]位置關(guān)系分類討論,確定函數(shù)y=x|a-x|圖像,再根據(jù)函數(shù)最大值與對(duì)稱軸位置關(guān)系進(jìn)行二級(jí)討論,最終確定b的取值范圍.
試題解析:(1)當(dāng)b=0時(shí),若不等式x|a-x|≤2x在x∈[0,2]上恒成立;
當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立,則a∈R;
當(dāng)0<x≤2,則|a-x|≤2在(0,2]上恒成立,即-2≤x-a≤2在(0,2]上恒成立,
因?yàn)?/span>y=x-a在(0,2]上單調(diào)增,ymax=2-a,ymin>-a,則,解得:0≤a≤2;
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2];
(2)函數(shù)f(x)在[0,2]上存在零點(diǎn),即方程x|a-x|=-2b在[0,2]上有解;
設(shè)h(x)=
當(dāng)a≤0時(shí),則h(x)=x2-ax,x∈[0,2],且h(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=0,h(x)max=h(2)=4-2a,則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時(shí),原方程有解,則a-2≤b≤0;
當(dāng)a>0時(shí),h(x)=,h(x)在上單調(diào)增,在上單調(diào)減,在[a,+∞)上單調(diào)增;
①當(dāng)≥2,即a≥4時(shí),h(x)max=h(2)=2a-4,h(x)min=h(0)=0,
則當(dāng)0≤-2b≤2a-4時(shí),原方程有解,則2-a≤b≤0;
②當(dāng)<2≤a,即2≤a<4時(shí),h(x)max=h=,h(x)min=h(0)=0,則當(dāng)0≤-2b≤時(shí),原方程有解,則-≤b≤0;
③當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)max=max=max,h(x)min=h(0)=0,
當(dāng)≥4-2a,即-4+4≤a<2時(shí),h(x)max=,則當(dāng)0≤-2b≤時(shí),原方程有解,則-≤b≤0;
當(dāng)<4-2a,即0<a<-4+4時(shí),h(x)max=4-2a,則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時(shí),原方程有解,則a-2≤b≤0;
綜上,當(dāng)a<-4+4時(shí),實(shí)數(shù)b的取值范圍為[a-2,0];
當(dāng)-4+4≤a<4時(shí),實(shí)數(shù)b的取值范圍為;
當(dāng)a≥4時(shí),實(shí)數(shù)b的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
在四棱錐P-ABCD中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB, E為PA的中點(diǎn).
(1)求證:BE∥平面PCD;
(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.
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【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線與點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】橢圓短軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,直線與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn)E,F(xiàn),交橢圓于兩點(diǎn)C,D.
(1)若,求直線的方程;
(2)設(shè)直線AD,CB的斜率分別為,若,求k的值.
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【題目】設(shè)f(x)=si n-2cos2+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,求當(dāng)x∈時(shí),y=g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有外形相同的球分裝三個(gè)盒子,每盒10個(gè).其中,第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A、3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè);第三個(gè)盒子中則有紅球8個(gè),白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行:先在第一號(hào)盒子中任取一球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二號(hào)盒子中任取一個(gè)球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三號(hào)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗(yàn)成功,那么試驗(yàn)成功的概率為( )
A.0.59 B.0.54 C.0.8 D.0.15
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【題目】已知數(shù)列滿足:對(duì)于任意且時(shí),,.
(1)若,求證:為等比數(shù)列;
(2)若.
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 是否存在,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以Ox軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),已知A,B的橫坐標(biāo)分別為,.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤.
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
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