Question

6．為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占$\frac{8}{13}$，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于120分	分?jǐn)?shù)不足120分	合 計(jì)
周做題時(shí)間不少于15小時(shí)	15	4	19
周做題時(shí)間不足15小時(shí)	10	16	26
合 計(jì)	25	20	45

（Ⅰ）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；
（Ⅱ）（ i） 按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是X，求X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
（ ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差．
附：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （I）根據(jù)比例計(jì)算每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不足15小時(shí)，且數(shù)學(xué)平均成績不足120分的人數(shù)，再根據(jù)合計(jì)數(shù)填表；
（II）（i）計(jì)算抽取的人數(shù)中分?jǐn)?shù)不足120分的人數(shù)，根據(jù)超幾何分布的概率公式計(jì)算；
（ii）根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）列聯(lián)表：

	分?jǐn)?shù)大于等于120分	分?jǐn)?shù)不足120分	合計(jì)
周做題時(shí)間不少于15小時(shí)	15	4	19
周做題時(shí)間不足15小時(shí)	10	16	26
合計(jì)	25	20	45

∵${K^2}=\frac{{45{{（15×16-10×4）}^2}}}{25×20×19×26}≈7.287＞6.635$，
∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”．
（Ⅱ）（ i）9×$\frac{20}{45}$=4，故需要從不足120分的學(xué)生中抽取4人．
X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{16}^{1}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=2）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{4}^{1}C}_{16}^{3}}{{C}_{20}^{4}}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{16}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$．
（ ii）從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的概率為$\frac{15}{25}$=0.6，
設(shè)從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y～B（20，0.6），
故E（Y）=12，D（Y）=4.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于中檔題．