Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）為遞增函數(shù)，若不等式f（1-m）＜f（m）成立，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x），可得函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．f（x）在[1，+∞）為遞增函數(shù)，f（x）在（-∞，1]為遞減函數(shù)．不等式f（1-m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．對(duì)m分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）=f（1+x），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
f（x）在[1，+∞）為遞增函數(shù)，f（x）在（-∞，1]為遞減函數(shù)．
不等式f（1-m）＜f（m）成立，即f（1+m）＜f（m）．
∵1+m＞m．
則當(dāng)m≥1時(shí)，f（1+m）＜f（m）不成立，舍去；
當(dāng)m+1≤1，即m≤0時(shí)，總有f（m+1）＜f（m），）恒成立，因此m≤0滿(mǎn)足條件；
當(dāng)m＜1＜1+m時(shí)，即0＜m＜1．要使f（m）＞f（m+1）恒成立，必須點(diǎn)M（m，f（m））到直線x=1的距離大于點(diǎn)N（m+1，f（m+1））到直線x=1的距離，即1-m＞m+1-1，解得m$＜\frac{1}{2}$．∴$0＜m＜\frac{1}{2}$．
綜上所述，m的取值范圍是：（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性對(duì)稱(chēng)性、不等式的解法、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．