Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是$a，b，c，\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中線(xiàn)CD的長(zhǎng)為1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理，可得角C大�。�
（2）三角形中線(xiàn)長(zhǎng)定理，余弦定理化簡(jiǎn)后，結(jié)合基本不等式可得ab的最大值，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 解：（1）∵$\frac{asinA+bsinB-csinC}{sinBsinC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}a$，
由正弦定理化簡(jiǎn)：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{bsinC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinC$，
即$tanC=\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π．
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）由三角形中線(xiàn)長(zhǎng)定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：$4-ab={a^2}+{b^2}≥2ab，ab≤\frac{4}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．