Question

12．已知A、B、C是圓O上的三個點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓外一點．若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，其中m，n∈R．則m+n的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （-1，0）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 先利用向量數(shù)量積運算性質，將$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，兩邊平方，消去半徑得m、n的數(shù)量關系，利用向量加法的平行四邊形法則，可判斷m+n一定為負值，從而可得正確結果．

解答 解：∵|OC|=|OB|=|OA|，$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，
∴1=m²+n²+2mncos∠AOB
當∠AOB=60°時，m²+n²+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）²-mn=1，即（m+n）²=1+mn＜1，
所以（m+n）²＜1，
∴-1＜m+n＜1，當$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$趨近射線OD，
由平行四邊形法則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，此時顯然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，
∴m+n＜0，所以m+n的取值范圍（-1，0）．
故選B．

點評 本題主要考查了平面向量的幾何意義，平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理，平面向量數(shù)量積運算的綜合運用，屬于中檔題．