Question

7．設(shè)定義域為R的奇函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，且f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，則m的范圍是（　�。�

• A． $（1-\sqrt{2}，+∞）$
• B． $[1-\sqrt{2}，+∞）$
• C． $（-\frac{1}{2}，+∞）$
• D． $[-\frac{1}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化原不等式，由函數(shù)的單調(diào)性脫掉“f”列出不等式，利用換元法和正弦函數(shù)的性質(zhì)化為一元二次不等式，根據(jù)定義域進行分類討論，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出最小值，由恒成立問題列出不等式求出m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0轉(zhuǎn)化為：
f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）=f（2m+2），
∵定義域為R的奇函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立，
設(shè)t=sinθ∈[-1，1]，則t²-2mt+2m+1＞0在[-1，1]上恒成立，
即g（t）=t²-2mt+2m+1在[-1，1]的最小值大于0，
（1）當(dāng)m≤-1時，最小值為g（-1）=4m+2＞0，
解得，$-\frac{1}{2}$＜m，則無解；
（2）當(dāng)-1＜m＜1時，最小值為g（m）=-m²+2m+1＞0，
解得，$1-\sqrt{2}＜$ m  $＜1+\sqrt{2}$，即$1-\sqrt{2}＜m＜1$；
（3）當(dāng)m≥1時，最小值為g（1）=2＞0，即m≥1，
綜上可得，m的取值范圍是$（1-\sqrt{2}，+∞）$，
故選A．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．