Question

20．奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽共設(shè)男子單打、女子單打、男子團(tuán)體、女子團(tuán)體共四枚金牌，保守估計(jì)中國(guó)乒乓球男隊(duì)單打或團(tuán)體獲得一枚金牌的概率均為$\frac{3}{4}$，中國(guó)乒乓球女隊(duì)單打或團(tuán)體獲得一枚金牌的概率均為$\frac{4}{5}$．
（1）求按此估計(jì)中國(guó)乒乓球女隊(duì)比中國(guó)乒乓球男隊(duì)多獲得一枚金牌的概率；
（2）記中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得的金牌數(shù)為ξ，按此估計(jì)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲0枚金牌，女隊(duì)獲1枚金牌為事件A，中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲1枚金牌，女隊(duì)獲2枚金牌為事件B，按此估計(jì)中國(guó)乒乓球女隊(duì)比中國(guó)乒乓球男隊(duì)多獲得一枚金牌的概率P（A+B）=P（A）+P（B），由此能求出結(jié)果．
（2）根據(jù)題意中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，它的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布列和所獲金牌的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲0枚金牌，女隊(duì)獲1枚金牌為事件A，
中國(guó)乒乓球男隊(duì)獲1枚金牌，女隊(duì)獲2枚金牌為事件B，
則P（A+B）=P（A）+P（B）
=$C_2^1{（{1-\frac{3}{4}}）^2}•（{\frac{4}{5}}）•（{1-\frac{4}{5}}）$$+C_2^1（{\frac{3}{4}}）•（{1-\frac{3}{4}}）{（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{13}{50}$．
（2）根據(jù)題意中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌數(shù)是一隨機(jī)變量ξ，
它的所有可能取值為0，1，2，3，4（單位：枚），
那么$P（{ξ=0}）=C_2^1{（{1-\frac{3}{4}}）^2}$${（{1-\frac{4}{5}}）^2}=\frac{1}{400}$，
$P（{ξ=1}）=C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•$$（{\frac{3}{4}}）•{（{1-\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1（{\frac{4}{5}}）•$${（{1-\frac{3}{4}}）^2}（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{7}{200}$，
$P（{ξ=2}）=C_2^1C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•$$（{\frac{3}{4}}）•（{1-\frac{4}{5}}）（{\frac{4}{5}}）+$${（{\frac{4}{5}}）^2}•{（{1-\frac{3}{4}}）^2}{（{1-\frac{4}{5}}）^2}$$（{\frac{3}{4}}）=\frac{73}{400}$，
$P（{ξ=3}）=C_2^1（{1-\frac{3}{4}}）•（{\frac{3}{4}}）$$•{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1{（{\frac{3}{4}}）^2}•（{\frac{4}{5}}）$$（{1-\frac{4}{5}}）=\frac{21}{50}$，
$P（{ξ=4}）={（{\frac{3}{4}}）^2}•$${（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{9}{25}$，
則ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{400}$	$\frac{7}{200}$	$\frac{73}{400}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{9}{25}$

那么，所獲金牌的數(shù)學(xué)期望$Eξ=0×\frac{1}{400}+1×\frac{7}{200}$$+2×\frac{73}{400}+3×\frac{21}{50}$$+4×\frac{9}{25}=\frac{31}{10}$（枚）
故中國(guó)乒乓球隊(duì)獲得金牌數(shù)的期望為$\frac{31}{10}$枚．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題．