Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范圍是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-∞，0）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調(diào)性及極值，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），進而可得：-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{\frac{2}{e}}{{x}_{1}}$∈（-1，0）．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}$，
∴函數(shù)f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x＜0\\ \frac{1-x}{{e}^{x}}，x≥0\end{array}\right.$，
故當x＜0時，函數(shù)為增函數(shù)，且f（x）＜$\frac{2}{e}$，
當0≤x＜1時，函數(shù)為增函數(shù)，且0≤f（x）＜$\frac{1}{e}$，
當x≥1時，函數(shù)為減函數(shù)，且0＜f（x）≤$\frac{1}{e}$，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），
則f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），
即-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，
故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{\frac{2}{e}}{{x}_{1}}$∈（-1，0），
故選：A

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，利用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)法研究函數(shù)的極值，難度中檔．