Question

【題目】已知橢圓，、分別是其左、右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且橢圓的離心率為，的周長等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，得，由的周長等于，可得，結(jié)合，可求出橢圓方程.
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不滿足條件，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，然后由弦長公式可得關(guān)于的方程，解出，即得到直線l的方程.

解：（1）由題可得，，即

的周長等于，的周長為

即，所以，

而，解得

則橢圓C的方程為：.

（2）設(shè)，由（1）可得，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，代入橢圓方程得：.

所以，即，不符合題意，

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)l：，

聯(lián)立直線l與橢圓C可得：，

，，

，解得，

所以直線l的方程為或.