Question

20．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式，并畫出的f（x）圖象；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-k，利用圖象求：當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時，函數(shù)g（x）有三個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＜0，則-x＞0，由條件求得f（x）的解析式，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的解析式．
（2）由題意可得f（x）的圖象和直線y=k有3個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，由當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x，可得f（-x）=x² +2x，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故有f（-x）=x² +2x=-f（x），
∴f（x）=-x² -2x，∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{{-x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=f（x）-k有三個零點(diǎn)，即f（x）的圖象和直線y=k有3個交點(diǎn)．
由于函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=1，極小值 f（1）=-1，如圖：
故-1＜k＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)的判斷，函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．