Question

1．已知橢圓G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的兩個焦點分別為F₁和F₂，短軸的兩個端點分別為B₁和B₂，點P在橢圓G上，且滿足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|．當b變化時，給出下列三個命題：
①點P的軌跡關(guān)于y軸對稱；
②存在b使得橢圓G上滿足條件的點P僅有兩個；
③|OP|的最小值為2，
其中，所有正確命題的序號是①③．

Answer 1

分析 運用橢圓的定義可得P也在橢圓$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-^{2}}$=1上，分別畫出兩個橢圓的圖形，即可判斷①正確；
通過b的變化，可得②不正確；由圖象可得當P的橫坐標和縱坐標的絕對值相等時，|OP|的值取得最小，即可判斷③．

解答 解：橢圓G：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜\sqrt{6}）$的兩個焦點分別為
F₁（$\sqrt{6-^{2}}$，0）和F₂（-$\sqrt{6-^{2}}$，0），
短軸的兩個端點分別為B₁（0，-b）和B₂（0，b），
設(shè)P（x，y），點P在橢圓G上，且滿足|PB₁|+|PB₂|=|PF₁|+|PF₂|，
由橢圓定義可得，|PB₁|+|PB₂|=2a=2$\sqrt{6}$＞2b，
即有P在橢圓$\frac{{y}^{2}}{6}$+$\frac{{x}^{2}}{6-^{2}}$=1上．
對于①，將x換為-x方程不變，則點P的軌跡關(guān)于y軸對稱，
故①正確；
對于②，由圖象可得軌跡關(guān)于x，y軸對稱，且0＜b＜$\sqrt{6}$，
則橢圓G上滿足條件的點P有4個，
不存在b使得橢圓G上滿足條件的點P僅有兩個，故②不正確；
對于③，由圖象可得，當P滿足x²=y²，即有6-b²=b²，即b=$\sqrt{3}$時，
|OP|取得最小值，可得x²=y²=2，即有|OP|的最小值為2，故③正確．
故答案為：①③．

點評 本題考查橢圓的定義和方程的運用，以及對稱性，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．