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1.已知橢圓G:x26+y2b2=10b6的兩個焦點分別為F1和F2,短軸的兩個端點分別為B1和B2,點P在橢圓G上,且滿足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.當b變化時,給出下列三個命題:
①點P的軌跡關(guān)于y軸對稱;
②存在b使得橢圓G上滿足條件的點P僅有兩個;
③|OP|的最小值為2,
其中,所有正確命題的序號是①③.

分析 運用橢圓的定義可得P也在橢圓y26+x262=1上,分別畫出兩個橢圓的圖形,即可判斷①正確;
通過b的變化,可得②不正確;由圖象可得當P的橫坐標和縱坐標的絕對值相等時,|OP|的值取得最小,即可判斷③.

解答 解:橢圓G:x26+y2b2=10b6的兩個焦點分別為
F162,0)和F2(-62,0),
短軸的兩個端點分別為B1(0,-b)和B2(0,b),
設(shè)P(x,y),點P在橢圓G上,且滿足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|,
由橢圓定義可得,|PB1|+|PB2|=2a=26>2b,
即有P在橢圓y26+x262=1上.
對于①,將x換為-x方程不變,則點P的軌跡關(guān)于y軸對稱,
故①正確;
對于②,由圖象可得軌跡關(guān)于x,y軸對稱,且0<b<6,
則橢圓G上滿足條件的點P有4個,
不存在b使得橢圓G上滿足條件的點P僅有兩個,故②不正確;
對于③,由圖象可得,當P滿足x2=y2,即有6-b2=b2,即b=3時,
|OP|取得最小值,可得x2=y2=2,即有|OP|的最小值為2,故③正確.
故答案為:①③.

點評 本題考查橢圓的定義和方程的運用,以及對稱性,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,以及運算能力,屬于中檔題.

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