Question

11．已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球，2個(gè)紅球和1個(gè)黃球．一項(xiàng)游戲規(guī)定：每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個(gè)球，將3個(gè)球?qū)��?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計(jì)算完得分后將球放回袋中．當(dāng)出現(xiàn)第n局得n（n∈N^*）分的情況就算游戲過關(guān)，同時(shí)游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游戲也結(jié)束．
（1）求在一局游戲中得3分的概率；
（2）求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出對應(yīng)的概率值；
（Ⅱ）由題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計(jì)算在一局游戲中得2分的概率值，
求出對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)在一局游戲中得3分為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{2}{5}$；
（Ⅱ）由題意隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3，4；
且在一局游戲中得2分的概率為$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{2}^{2}{+C}_{2}^{2}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$；
則P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{6}{25}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{10}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{28}{125}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}$×（1-$\frac{3}{10}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{42}{125}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{42}{125}$

EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{6}{25}$+3×$\frac{28}{125}$+4×$\frac{42}{125}$=$\frac{337}{125}$．

點(diǎn)評 本題考查了相互獨(dú)立事件概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．