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6.已知O為△ABC的外心,且\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC}
①若∠C=90°,則λ+μ=\frac{1}{2}
②若∠ABC=60°,則λ+μ的最大值為\frac{2}{3}

分析 ①外心為斜邊中點,根據(jù)圖形即可得出λ,μ的值,
②以外接圓圓心為半徑建立坐標(biāo)系,設(shè)B(x,y),列方程用λ,μ表示出x,y,代入圓的方程,再利用不等式解出λ+μ的范圍.

解答 解:①若∠C=90°,則O是斜邊AB的中點,如圖①所示;
\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA},
∴λ=\frac{1}{2},μ=0,
∴λ+μ=\frac{1}{2};
②設(shè)△ABC的外接圓半徑為1,以外接圓圓心為原點建立坐標(biāo)系,
∵∠ABC=60°,∴AOC=120°,
設(shè)A(1,0),C(-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}),B(x,y),
\overrightarrow{BA}=(1-x,-y),\overrightarrow{BC}=(-\frac{1}{2}-x,\frac{\sqrt{3}}{2}-y),\overrightarrow{BO}=(-x,-y),
\overrightarrow{BO}=λ\overrightarrow{BA}+μ\overrightarrow{BC},
\left\{\begin{array}{l}{λ(1-x)-μ(\frac{1}{2}+x)=-x}\\{-λy+μ(\frac{\sqrt{3}}{2}-y)=-y}\end{array}\right.,解得\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{λ-\frac{1}{2}μ}{λ+μ-1}}\\{y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}μ}{λ+μ-1}}\end{array}\right.,
∵B在圓x2+y2=1上,
∴(λ-\frac{1}{2}μ2+(\frac{\sqrt{3}}{2}μ2=(λ+μ-1)2
∴λμ=\frac{2(λ+μ)-1}{3}≤(\frac{λ+μ}{2}2,
\frac{1}{4}(λ+μ)2-\frac{2}{3}(λ+μ)+\frac{1}{3}≥0,
解得λ+μ≤\frac{2}{3}或λ+μ≥2,
∵B只能在優(yōu)弧\widehat{AC}上,∴λ+μ≤\frac{2}{3},
即λ+μ得最大值為\frac{2}{3}
故答案為:(1)\frac{1}{2},(2)\frac{2}{3}

點評 本題考查了平面向量的基本定理,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算是常用方法之一,屬于中檔題.

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