分析 (Ⅰ)利用直接法,求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)求出Q的軌跡方程,令z=|QA|2+|QC|2=(x+2)2+y2+(x-3)2+y2=6x+8y+5,所以6x+8y+5-z=0,利用直線與圓的位置關(guān)系,即可求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值;
(Ⅲ)設過A的直線方程為x=ty-2(一定存在),與Q的軌跡方程聯(lián)立,消去x得(1+t2)y2-(8t+4)y+16=0,利用韋達定理,結(jié)合基本不等式,即可得出結(jié)論.
解答 解:(I)設點P(x,y),由題意可得|PA|=2|PB|,即$\sqrt{(x+2)^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}$.
化簡可得(x-2)2+y2=4.(4分)
(II)設Q(x0,y0),由題可得x=4-x0,y=2-y0代入上式消去可得(x0-2)2+(y0-2)2=4,即Q的軌跡方程為(x-2)2+(y-2)2=4,即x2+y2+4=4x+4y.(6分)
令z=|QA|2+|QC|2=(x+2)2+y2+(x-3)2+y2=6x+8y+5,所以6x+8y+5-z=0,
d=$\frac{|33-z|}{10}$≤2,所以13≤z≤53.
因此|QA|2+|QC|2的最大值為53,最小值為13.(9分)
(III)λ的取值范圍是(1,$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$].(10分)
證明:設E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2)且y1<y2.
因為$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{EA}$,所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2=λ({x}_{1}+2)}\\{{y}_{2}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$,且λ>1.(11分)
設過A的直線方程為x=ty-2(一定存在),與Q的軌跡方程聯(lián)立,消去x得(1+t2)y2-(8t+4)y+16=0.
△>0,解得t>$\frac{3}{4}$.
而y1+y2=$\frac{8t+4}{1+{t}^{2}}$,y1y2=$\frac{16}{1+{t}^{2}}$,$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$,
因此$λ+\frac{1}{λ}$+2=4+$\frac{4t-3}{1+{t}^{2}}$=4+$\frac{16}{(4t-3)+\frac{25}{4t-3}+6}$≤5,當且僅當t=2時等號成立.
所以$λ+\frac{1}{λ}$-3≤0(k>1),解得1<λ≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.(14分)
點評 本題考查軌跡方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查基本不等式的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | -1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com