Question

3．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（n+1）x²+x（n∈N^*）數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f_n′（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求證：對一切正整數(shù)n，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_3}-2）}^2}}}+…+\frac{1}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f_n′（x），由a_n+1=f_n′（a_n）和a₁=3求出a₂，依次求出a₃和a₄；
（2）由（1）猜想得a_n=n+2，利用數(shù)學(xué)歸納法證明成立；
（3）由（2）求出a_n-2，對n=1、2時代入數(shù)據(jù)證明不等式成立，當(dāng)n≥3時時先化簡不等式的左邊，再利用放縮法和裂項求和法證明不等式成立．

解答 解：（1）由題意得，f_n′（x）=x²-（n+1）x+1 （1分）
∵a_n+1=f_n′（a_n），a₁=3，
∴a₂=f₁′（a₁）=a₁²-2a₁+1=4，（2分）
a₃=f₂′（a₂）=a₂²-3a₂+1=5，（3分）
a₄=f₃′（a₃）=a₃²-4a₃+1=6；（4分）
（2）猜想a_n=n+2，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a₁=1+2=3顯然成立．（5分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N₊）時猜想成立，
則n=k（k∈N₊）時，a_k=k+2，（6分）
則當(dāng)n=k+（k∈N₊）時，
a_k+1=f_k′（a_k）=a_k²-（k+1）a_k+1=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
∴當(dāng)n=k+1時，猜想成立  （8分）
由①②可知對一切n∈N₊，a_n=n+2成立   （9分）
（3）由（2）得，a_n-2=（n+2）-2=n，
當(dāng)n=1時，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}=\frac{1}{1^2}=1＜\frac{7}{4}$；（10分）
當(dāng)n=2時，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}＜\frac{7}{4}$；（11分）
當(dāng)n≥3時，$\frac{1}{{{{（{a_1}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_2}-2）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{a_3}-2）}^2}}}+…+\frac{1}{{{{（{a_n}-2）}^2}}}$
=$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{（n-1）n}$
=$1+\frac{1}{4}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$
=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
綜上，對一切正整數(shù)n有結(jié)論成立．（14分）

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列求和方法：裂項求和法，求導(dǎo)公式和法則，以及數(shù)學(xué)歸納法，放縮法證明不等式的綜合應(yīng)用，考查化簡、變形能力．