【題目】已知橢圓:,該橢圓經(jīng)過點,且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)是圓上任意一點,由引橢圓的兩條切線,,當兩條切線的斜率都存在時,證明:兩條切線斜率的積為定值.
【答案】(1) .(2)見解析.
【解析】
(1)由橢圓經(jīng)過點,可以求出的值,由離心率為,可知的關(guān)系,結(jié)合之間的,可以求出的值,這樣就求出橢圓的標準方程;
(2)設(shè),且.點引橢圓的切線方程可設(shè)為,
與橢圓方程聯(lián)立,讓根的判斷式為零,得到一個關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,可以證明出兩條切線斜率的積為定值.
(1)由題意得,解得,.
∴橢圓的標準方程為.
(2)設(shè),且.
由題意知,過點引橢圓的切線方程可設(shè)為,
聯(lián)立化簡得.
∵直線與橢圓相切,
∴,
化簡得.
∴.
∴兩條切線斜率的積為定值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,直線與相切,求的值;
(2)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點,求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當時,若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1,求實數(shù)的值.
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【題目】已知橢圓過點,且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的標淮方程;
(2)直線過點且與橢圓相交于、兩點,橢圓的右頂點為,試判斷是否能為直角.若能為直角,求出直線的方程,若不行,請說明理由.
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【題目】已知橢圓:的右焦點為,上頂點為,直線的斜率為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線:與橢圓交于兩點,且與圓相切.試探究的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知橢圓:,該橢圓經(jīng)過點,且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設(shè)是圓上任意一點,由引橢圓的兩條切線,,當兩條切線的斜率都存在時,證明:兩條切線斜率的積為定值.
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【題目】某校為全面推進新課程改革,在高一年級開設(shè)了研究性學(xué)習課程,某班學(xué)生在一次研究活動課程中,一個小組進行一種驗證性實驗,已知該種實驗每次實驗成功的概率為.
求該小組做了5次這種實驗至少有2次成功的概率.
如果在若干次實驗中累計有兩次成功就停止實驗,否則將繼續(xù)下次實驗,但實驗的總次數(shù)不超過5次,求該小組所做實驗的次數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,在等腰中,斜邊,為直角邊上的一點,將沿直線折疊至的位置,使得點在平面外,且點在平面上的射影在線段上設(shè),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】
已知點A(2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;
(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.
(i)證明:是直角三角形;
(ii)求面積的最大值.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分.
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