Question

5．已知四棱錐P-ABCD，其三視圖和直觀圖如圖所示，E為BC中點．
（Ⅰ）求此幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：平面PAE⊥平面PDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三視圖可知底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，定點P在面ABCD內(nèi)的射影為BC的中點E，棱錐的高為2，由此能求出此幾何體的體積．
（Ⅱ）推導出PE⊥AE，AE⊥ED，從而AE⊥平面PED，由此能證明平面PAE⊥平面PDE．

解答 解：（Ⅰ）由三視圖可知底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，
定點P在面ABCD內(nèi)的射影為BC的中點E，棱錐的高為2，
∴此幾何體的體積${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{矩形ABCD}}×PE=\frac{1}{3}×2×4×2=\frac{16}{3}$．…（4分）
證明：（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PE⊥AE，
取AD中點F，∵AB=CE=BE=2，∴$EF=\frac{1}{2}AD$，∴AE⊥ED，
∵ED∩AE=E，∴AE⊥平面PED，∵AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PDE．…（10分）

點評 本題考查幾何體的體積的求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．