Question

14．設(shè)函數(shù) f （x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）．
（1）若a=-3，求函數(shù) f （x）的最小值；
（2）如果?x∈R，f （x）≤2a+2|x-1|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值的意義求出函數(shù)的最小值即可；（2）由|x-a|-|x-1|≤2a，轉(zhuǎn)化為|1-a|≤2a，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-3時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+3|，
∵f（x）=|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|（1-x）+（x+3）|=4，
當(dāng)且僅當(dāng)（1-x）（x+3）≥0即-3≤x≤1時(shí)，“=”成立，
∴函數(shù)f（x）的最小值是4；
（2）?x∈R，f（x）≤2a+2|x-1|，
可化為|x-a|-|x-1|≤2a，
又|x-a|-|x-1|≤|（x-a）-（x-1）|=|1-a|，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，
從而|1-a|≤2a，即-2a≤1-a≤2a，解得：a≥$\frac{1}{3}$，
故a的范圍是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值的意義，考查求函數(shù)最小值問題，是一道中檔題．