Question

15．定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=af（x）（a＞0）；②當1≤x≤2時，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$．若分別以函數(shù)f（x）的極值點和相應(yīng)極值為橫、縱坐標的點都在一條直線上，則a的值為1或2．

Answer 1

分析 當1≤x≤2時，對應(yīng)的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；當2≤x≤4時，對應(yīng)的點A₂（3，$\frac{a}{2}$）；當4≤x≤8時，對應(yīng)的點A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
A₁，A₂，A₃三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；

解答 解：當1≤x≤2時，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$，極值為f（$\frac{3}{2}$）=1，對應(yīng)的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
當2≤x≤4時，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a|sin$\frac{π}{2}x$|，極值為f（3）=a，對應(yīng)的點A₂（3，$\frac{a}{2}$）；
當4≤x≤8時，f（x）=a²|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a²|sin$\frac{π}{2}x$|，極值為f（6）=a，對應(yīng)的點A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
∵分別以函數(shù)f（x）的極值點和相應(yīng)極值為橫、縱坐標的點都在一條直線上，∴A₁，A₂，A₃三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經(jīng)檢驗，當a=1時，直線方程為y=$\frac{1}{2}$，當a=2時，直線為y=$\frac{1}{3}x$，符合題意．
故答案為：1，2

點評 本題考查了函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．