Question

18．設(shè)x，y∈R，向量$\overrightarrow i，\overrightarrow j$分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量$\overrightarrow a=（x+\sqrt{3}）\overrightarrow i+y\overrightarrow j$，$\overrightarrow b=（x-\sqrt{3}）\overrightarrow i+y\overrightarrow j$，且$|\overrightarrow a|+|\overrightarrow b|=4$．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓$E：\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$|\overrightarrow a|+|\overrightarrow b|=4$，得到$\sqrt{{{（x+\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}=4$，說明點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（$-\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）的距離之和為4，推出點(diǎn)M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，然后求解即可．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，利用判別式以及韋達(dá)定理求解三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （Ⅰ）解：∵$\overrightarrow a=（x+\sqrt{3}）\overrightarrow i+y\overrightarrow j$，$\overrightarrow b=（x-\sqrt{3}）\overrightarrow i+y\overrightarrow j$，且$|\overrightarrow a|+|\overrightarrow b|=4$，
∴$\sqrt{{{（x+\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}=4$
∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（$-\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）的距離之和為4…（2分）
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0），則$$c=\sqrt{3}$，
a=2∴b²=a²-c²=1…（3分）
其方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，
∴△＞0，由韋達(dá)定理可得：${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-16}}{{1+4{k^2}}}$．…（5分）
所以$|{x_1}-{x_2}|=\frac{{4\sqrt{16{k^2}+4-{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}$…（6分）
因?yàn)橹本�y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），
所以△OAB的面積$S=\frac{1}{2}|m||{x_1}-{x_2}|=\frac{{2\sqrt{16{k^2}+4-{m^2}}|m|}}{{1+4{k^2}}}$…（7分）
=$\frac{{2\sqrt{（16{k^2}+4-{m^2}）{m^2}}}}{{1+4{k^2}}}=2\sqrt{（4-\frac{m^2}{{1+4{k^2}}}）\frac{m^2}{{1+4{k^2}}}}$…（8分）
設(shè)$\frac{m^2}{{1+4{k^2}}}=t$
將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0…（10分）
由△=0，可得m²=1+4k²即t=1，…（11分）
又因?yàn)?S=2\sqrt{（4-t）t}=2\sqrt{-{t^2}+4t}$，
故$S=2\sqrt{3}$為定值．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問題的處理方法，設(shè)而不求的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．