Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別為x軸，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，B為線段MA的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（-1，m），過點(diǎn)F的直線1交軌跡C于G、K兩點(diǎn)，記PG，PF，PK的斜率分別為k₁，k₂，k₃，求證：k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，B為線段MA的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．由此得到a=-b²，x=-a，y=2b，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則F（1，0），G（1，2），K（1，-2），推導(dǎo)出k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x-1），由此能證明k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列．

解答 解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別為x軸，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)A（a，0），B（0，b），M（x，y），
∵點(diǎn)F（1，0）為定點(diǎn)，B為線段MA的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+a}{2}=0}\\{\frac{y}{2}=b}\end{array}\right.$，解得x=-a，y=2b，∴M（-a，2b），
$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），$\overrightarrow{BF}$=（1，-b），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=a+b²=0，解得a=-b²，
∵x=-a，y=2b，∴y²=4x．
（2）證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則F（1，0），G（1，2），K（1，-2），
所以${k}_{1}=\frac{2-m}{2}$，${k}_{2}=-\frac{m}{2}$，${k}_{3}=\frac{-2-m}{2}$，
則k₁+k₃=2k₂，∴k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線的方程為y=k（x-1），
G（x₁，y₁），K（x₂，y₂），
則k₁=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}+1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-m}{{x}_{1}+1}$=k-$\frac{2k+m}{{x}_{1}+1}$，
同理可得：${k}_{2}=k-\frac{2k+m}{{x}_{2}+1}$，
∴k₁+k₂=2k-（2k+m）（$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=2k-（2k+m）-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$，
由方程組y=$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
則k₁+k₃=2k-（2k+m）×1=-m，
又k₂=-$\frac{m}{2}$，∴k₁+k₃=2k₂，
綜上所述：k₁，k₂，k₃成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查三條直線的斜率成等差數(shù)列的證明，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、整體思想，是中檔題．