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14.已知函數(shù)fx=lnxx+a+b1,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x-1.
(1)求a,b
(2)試比較20162017與20172016的大小,并說明理由.
(3)當c<1時,證明:對任意的x>0,有x+1lnxxx+c10

分析 (1)根據(jù)f(1)=1-1=b-1,求出b的值,求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)f′(1)=1,求出a的值即可;
(2)求出f(x)的解析式,求出函數(shù)的導數(shù),得到函數(shù)的單調區(qū)間,從而判斷大小即可;
(3)問題轉化為只需證明lnxx≤x-lnx,令g(x)=x-lnx,根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.

解答 解:(1)∵f(1)=1-1=0,
∴f(1)=b-1=0,故b=1,
f′(x)=x+axlnxx+a2,∴f′(1)=1,
1+a1+a2=1,
∴a=0;
(2)由(1)f(x)=lnxx,f′(x)=1lnxx2
令f′(x)>0,解得:0<x<e,令f′(x)<0,解得:x>e,
故f(x)在(0,e)遞增,在(e,+∞)遞減,
∵2016<2017,ln20162016ln20172017,
∴20162017>20172016;
(3)要證x+1lnxxx+c10,
即證lnx+lnxx-x+c-1<0,
∵c<1,∴c-1<0,
故只需證明lnx+lnxx-x≤0,
即只需證明lnxx≤x-lnx,
令g(x)=x-lnx,
∵f(x)≤f(e)=1e,g′(x)=x1x
故g(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
故g(x)≥g(1)=1,
∵1>1e,∴f(x)≤g(x),
x+1lnxxx+c10

點評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調性、最值問題,考查導數(shù)的應用,是一道中檔題.

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