Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{1-x}$，g（x）=sinx•f（sin2x）+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$f（cos4x），x∈[-$\frac{π}{4}$，0]
（1）將函數(shù)g（x）化簡成Asin（ωx+φ）+B（A，B∈R，ω＞0，φ∈（-π，π）的形式；
（2）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）當x∈[-$\frac{π}{4}$，0）時，利用三角恒等變換化簡f（sin2x）與f（cos4x），再化簡g（x）即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合x的取值范圍，即可求出函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）x∈[-$\frac{π}{4}$，0）時，f（sin2x）=$\sqrt{1-sin2x}$=|sinx-cosx|=cosx-sinx；
x∈[-$\frac{π}{4}$，0）時，f（cos4x）=$\sqrt{1-cos4x}$=$\sqrt{2}$|sin2x|=-$\sqrt{2}$sin2x；
所以g（x）=sinx•f（sin2x）+$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$f（cos4x）
=sinx（cosx-sinx）-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$•$\sqrt{2}$sin2x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$
=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$；
（2）當x∈[-$\frac{π}{4}$，0）時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{6}$），
所以sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，-$\frac{1}{2}$），
g（x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
即函數(shù)g（x）的值域是（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與運算問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．