已知⊙F1：（x+1）2+y2=
1
9
，⊙F2：（x-1）2+y2=
121
9
，橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，存在以P為圓心的⊙P與⊙F1外切，與⊙F2內(nèi)切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F2作斜率為k的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)D，若
DA
=2
AF2
，
DB
=λ
BF2
，求λ的值．
（3）已知真命題：“如果點(diǎn)T（x0，y0）在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，那么過(guò)點(diǎn)T的橢圓的切線方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．”利用上述結(jié)論，解答下面的問(wèn)題：
已知點(diǎn)Q是直線l：x+2y=8上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，M、N為切點(diǎn)，問(wèn)直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出⊙F1、⊙F2的圓心和半徑，設(shè)以P為圓心的⊙P的半徑為r，求出PF1+PF2=4，即為a=2，又c=1，由a，b，c的關(guān)系，求得b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2作斜率為k的直線方程為：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的數(shù)乘的坐標(biāo)公式，求得A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得k，解方程求得B的橫坐標(biāo)，即可得到所求；
（3）運(yùn)用橢圓的切線方程，求出QM，QN的方程，再由Q是它們的交點(diǎn)，代入即可得到直線MN的方程，再由Q在直線l上，運(yùn)用直線系方程的結(jié)論，即可得到定點(diǎn)．
解答： 解：（1）⊙F1：（x+1）2+y2=
1
9
的圓心為（-1，0），半徑為
1
3
．
⊙F2：（x-1）2+y2=
121
9
的圓心為（1，0），半徑為
11
3
．
設(shè)以P為圓心的⊙P的半徑為r，
則由以P為圓心的⊙P與⊙F1外切，與⊙F2內(nèi)切，可得，
PF1+PF2=
1
3
+r+
11
3
-r=4，即有2a=4，即a=2，又c=1，
則b2=a2-c2=3，
則橢圓C的方程是：
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2作斜率為k的直線方程為：y=k（x-1），
設(shè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），D（0，-k），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得，（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
則x1x2=
4k2-12
3+4k2
，
由
DA
=2
AF2
，即有x1=2（1-x1），解得，x1=
2
3
，
代入方程，可得k2=24，
即有x1x2=
28
33
，則x2=
14
11
，
由于
DB
=λ
BF2
，則x2=λ（1-x2），即有λ=
x2
1-x2
=
14
11
1-
14
11
=-
14
3
；
（3）設(shè)Q（m，n），則m+2n=8，即有m=8-2n，
切點(diǎn)M（x3，y3），N（x4，y4），
則
x3x
4
+
y3y
3
=1，
x4x
4
+
y4y
3
=1，
兩條切線QM、QN均過(guò)點(diǎn)Q，即有
x3m
4
+
y3n
3
=1，
x4m
4
+
y4n
3
=1，
則由兩點(diǎn)確定一條直線，則有直線MN的方程為：
mx
4
+
ny
3
=1．
即3mx+4ny-12=0，即3（8-2n）x+4ny-12=0，
即為（24x-12）+n（4y-6x）=0，
由24x-12=0，且4y-6x=0，解得，x=
1
2
，y=
3
4
．
即有直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（
1
2
，
3
4
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和方程，考查兩圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)乘的定義和坐標(biāo)表示，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查橢圓的切線方程，以及直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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設(shè)集合A={x|-5≤x≤3}，B={x|x＜-2或x＞4}，
（1）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；
（2）已知C={x|a＜x≤a+1}，若C⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

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已知E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BB1的中點(diǎn)，求EF與面ACC1A1所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓錐曲線E：
(x-c)2+y2
+
(x+c)2+y2
=c2+1（c＞0，c≠1）的離心率為e=
3
2
，過(guò)原點(diǎn)O的直線與曲線E交于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，B是曲線E上不同于P、A的點(diǎn)，直線PB、AB的斜率分別為k1、k2，且k1k2≠0．
（Ⅰ）求圓錐曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求k1•k2的值；
（Ⅲ）已知F為圓錐曲線E的右焦點(diǎn)，若PA⊥PB，且存在λ∈R使
AF
=λ
BF
，求直線AB的方程．

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設(shè)A（x，1），B（2x，2），C（1，2x），D（5，3x），當(dāng)x為何值時(shí)，AB與CD共線且方向相等，此時(shí)A，B，C，D能否在同一條直線上？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知單位圓上一點(diǎn)P（-
3
2
，y），設(shè)以O(shè)P為終邊的角為θ（0＜θ＜2π），求θ的正弦值、余弦值．

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已知二次函數(shù)r（x）=ax2-（2a-1）x+b的一個(gè)零點(diǎn)是2-
1
a
，函數(shù)g（x）=lnx，設(shè)函數(shù)f（x）=r（x）-g（x）．
（1）求b的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）在[-2，2]是奇函數(shù)，且在[0，2]上最大值是5，則函數(shù)f（x）在[-2，0]上的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-1-2lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若a≥2，求證：函數(shù)f（x）在（0，e）上無(wú)零點(diǎn)．

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