Question

1．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，PA∥FB∥ED，∠ABC=60°，PA=AB=2BF=2DE．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCE；
（Ⅱ）求二面角B-PC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC中點(diǎn)M，連BD交AC于O，連OM，EM．證明OD⊥AC，OD⊥PA，推出OD⊥平面PAC，說(shuō)明EM⊥平面PAC，然后證明平面PAC⊥平面PCE．
（Ⅱ）以O(shè)B，OC，OM所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=2BF=2DE=2，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面BPC的一個(gè)法向量，平面FPC的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取PC中點(diǎn)M，連BD交AC于O，連OM，EM．
在菱形ABCD中，OD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴OD⊥PA，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴OD⊥平面PAC，
∵O，M分別是AC，PC的中點(diǎn)，
∴OM∥PA，$OM=\frac{1}{2}PA$，
又DE∥PA，$DE=\frac{1}{2}PA$，
∴OM∥DE，OM=DE，
∴四邊形OMED是平行四邊形，則OD∥EM，
∴EM⊥平面PAC，
又EM?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCE．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得EM⊥平面PAC，則OB，OC，OM兩兩垂直，以O(shè)B，OC，OM所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=2BF=2DE=2，則$B（\sqrt{3}，0，0）$，C（0，1，0），P（0，-1，2），$F（\sqrt{3}，0，1）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，1，-2）$，$\overrightarrow{PF}=（\sqrt{3}，1，-1）$，
設(shè)$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面BPC的一個(gè)法向量，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}+{y_1}-2{z_1}=0\\ 2{y_1}-2{z_1}=0\end{array}\right.$
取${x_1}=\sqrt{3}$，得y₁=3，z₁=3，∴$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，3，3）$，
設(shè)$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$是平面FPC的一個(gè)法向量，
同理得，$\overrightarrow{n_2}=（0，1，1）$．
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{0+3+3}{{\sqrt{21}×2}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴二面角B-PC-F的余弦值為$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．