Question

5．某市舉行的“國際馬拉松賽”，舉辦單位在活動推介晚會上進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動，抽獎盒中裝有6個大小相同的小球，分別印有“快樂馬拉松”和“美麗綠城行”兩種標志，搖勻后，參加者每次從盒中同時抽取兩個小球（取出后不再放回），若抽到的兩個球都印有“快樂馬拉松”標志即可獲獎．并停止取球；否則繼續(xù)抽取，第一次取球就抽中獲一等獎，第二次取球抽中獲二等獎，第三次取球抽中獲三等獎，沒有抽中不獲獎．活動開始后，一位參賽者問：“盒中有幾個印有‘快樂馬拉松’的小球？”主持人說：“我只知道第一次從盒中同時抽兩球，不都是‘美麗綠城行’標志的概率是
（1）求盒中印有“快樂馬拉松”小球的個數(shù)；
（Ⅱ）若用η表示這位參加者抽取的次數(shù)，求η的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）設印有“美麗綠城行”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標志為事件A，同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標志的概率是$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}$，由對立事件的概率能求出n．
（2）由已知，兩種球各三個，故η可能取值分別為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出η的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）設印有“美麗綠城行”的球有n個，
同時抽兩球不都是“美麗綠城行”標志為事件A，
則同時抽取兩球都是“美麗綠城行”標志的概率是$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}$，
由對立事件的概率：$P（A）=1-P（\overline A）=\frac{4}{5}$．
即$P（\overline A）=\frac{C_n^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，解得n=3；
（2）由已知，兩種球各三個，故η可能取值分別為1，2，3，
$P（η=1）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（η=2）=\frac{C_3^2}{C_6^2}•\frac{C_3^2}{C_4^2}+\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}•\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{5}$，
P（η=3）=1-P（η=1）$-P（η=2）=\frac{3}{5}$．
則η的分布列為：

η	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$

$Eη=1×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，考查概率的求法及應用，考查考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．