Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，所以在上恒成立。故應(yīng)先求導(dǎo)，再求導(dǎo)函數(shù)的最小值使其大于等于。（Ⅱ）在時恒成立即在上恒成立，故應(yīng)去求函數(shù)的最小值。應(yīng)先求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0得，討論導(dǎo)數(shù)的正負，得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。在討論極值點與0和2的大小得函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在的最小值。

試題解析：（Ⅰ）,.                          2分

因為函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，

所以，即在上恒成立.          3分

因為是增函數(shù)，

所以滿足題意只需，即.                 5分

（Ⅱ）令，解得                             6分

的情況如下：

 

①當，即時，在上的最小值為，

若滿足題意只需，解得，

所以此時，；                                 11分

②當，即時，在上的最小值為，

若滿足題意只需，求解可得此不等式無解，

所以不存在；                                        12分

③當，即時，在上的最小值為,

若滿足題意只需，解得,

所以此時，不存在.                                  13分

綜上討論，所求實數(shù)的取值范圍為.

考點：考查導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法的數(shù)學(xué)思想，意在考查考生靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析、解決問題的能力，考查考生的邏輯思維能力、運算能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力。