Question

10．不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，如果M⊆[1，4]，求實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，$\frac{18}{7}$]
• B． （-1，2]
• C． [2，3）
• D． （-$\frac{6}{7}$，$\frac{18}{7}$]

Answer 1

分析 該題實質上是二次函數的區(qū)間根問題，已知M⊆[1，4]，首先分類討論①M=∅，得出△＜0，解出a的范圍；②M≠∅，此時△=0或△＞0，分三種情況計算a的取值范圍，然后綜合①②的情況求出實數a的取值范圍．

解答 解：設f（x）=x²-2ax+a+2，有△=（-2a）²-4（a+2）=4（a²-a-2），
∵M⊆[1，4]有兩種情況：
①M=∅，此時△＜0；
當△＜0時，-1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]；
②其二是M≠∅，此時△=0或△＞0，分三種情況計算a的取值范圍
當△=0時，a=-1或2；
當a=-1時M={-1}?[1，4]；
當a=2時，m={2}⊆[1，4]．
當△＞0時，a＜-1或a＞2．
設方程f（x）=0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么M=[x₁，x₂]，M⊆[1，4]
∴1≤x₁＜x₂≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即 $\left\{\begin{array}{l}{-a+3≥0}\\{18-7a≥0}\\{1≤a≤4}\\{a＜-1或a＞2}\end{array}\right.$，解得2＜a≤$\frac{18}{7}$，
綜上討論知，當M⊆[1，4]時，a的取值范圍是（-1，$\frac{18}{7}$]，
故選：A．

點評 此題主要考查一元二次不等式的解法，運用了分類討論的思想，分類討論的問題比較多，從而加大了試題的難度．