Question

18．已知△ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C：x²=4y上，P在第一象限，如圖．F為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，|PF|=3，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 由題意可知|PF|=3，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率，代入即可求得AB的方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），由|PF|=3，得y=2，
∴x=2$\sqrt{2}$，即P（2$\sqrt{2}$，2）
設(shè)M（x₀，y₀），由 $\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FM}$，得x₀=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，y₀=$\frac{2}{3}$，即M（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{3}$）
M為AB的中點(diǎn)，k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴AB的方程為：3$\sqrt{2}$x+9y-2=0．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，直線方程的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．