Question

2．已知函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=lnx+f（x），若g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且不等式g（x₁）+g（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求出x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=a＞0，得 $alna+\frac{1}{2}{a^2}-a-{a^2}＜λa$，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$λ＞lna-\frac{1}{2}a-1$對(duì)?a＞4恒成立，令$φ（a）=lna-\frac{1}{2}a-1$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出λ的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a-1}{x}+x-a=\frac{{{x^2}-ax+a-1}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-a+1}）}}{x}（{x＞0}）$，
令h（x）=（x-1）（x-a+1）=0，得x₁=1，x₂=a-1，
當(dāng)a-1＞1，即a＞2時(shí)，在（0，1），（a-1，+∞）上，f'（x）＞0，
在（1，a-1）上f'（x）＜0，
此時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞），減區(qū)間為（1，a-1）；
當(dāng)a-1=1，即a=2時(shí)，在（0，+∞）上f'（x）＞0，
此時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a-1＜1，即1＜a＜2時(shí)，在（0，a-1），（1，+∞）上f'（x）＞0，
在（a-1，1）上f'（x）＜0，
此時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，a-1），（1，+∞），減區(qū)間為（a-1，1）；
當(dāng)a-1≤0，即a≤1時(shí)，在（1，+∞）上f'（x）＞0，在（0，1）f'（x）＜0，
此時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）上單增，減區(qū)間為（0，1）．
（2）∵$g（x）=lnx+f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-ax$，∴$g'（x）=\frac{a}{x}+x-a=\frac{{{x^2}-ax+a}}{x}（{x＞0}）$，
∵g（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴x₁，x₂是方程x²-ax+a=0（x＞0）的兩個(gè)不相等實(shí)根，
∴△=a²-4a＞0，且x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=a＞0，
由g（x₁）+g（x₂）＜λ（x₁+x₂），
得$（aln{x_1}+\frac{1}{2}{x_1}^2-a{x_1}）+（aln{x_2}+\frac{1}{2}{x_2}^2-a{x_2}）＜λ（{x_1}+{x_2}）$，
整理得 $aln（{{x_1}{x_2}}）+\frac{1}{2}{（{{x_1}+{x_2}}）^2}-{x_1}{x_2}-a（{{x_1}+{x_2}}）＜λ（{{x_1}+{x_2}}）$，
將x₁+x₂=a，x₁x₂=a代入得 $alna+\frac{1}{2}{a^2}-a-{a^2}＜λa$，
因?yàn)閍＞4，所以$λ＞lna-\frac{1}{2}a-1$
于是$λ＞lna-\frac{1}{2}a-1$對(duì)?a＞4恒成立，
令$φ（a）=lna-\frac{1}{2}a-1$，則$φ'（a）＞\frac{1}{a}-\frac{1}{2}（{a＞4}）$，
所以 φ'（a）＜0，$φ（a）=lna-\frac{1}{2}a-1$在（4，+∞）單減，
所以 φ（a）＜ln4-2-1=ln4-3，
因此 λ≥ln4-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．