13.已知x=1是f(x)=2x+$\frac{x}$+lnx的一個極值點.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-$\frac{3+a}{x}$,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),計算f′(1)=0,求出b的值即可;
(Ⅱ)求出g(x)的解析式,求出g(x)的導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為a≥-2x2-x在[1,2]恒成立,求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=2-$\frac{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$,
x=1是f(x)=2x+$\frac{x}$+lnx的一個極值點,
故f′(1)=2-b+1=0,解得:b=3;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:g(x)=2x+$\frac{3}{x}$+lnx-$\frac{3}{x}$-$\frac{a}{x}$=2x+lnx-$\frac{a}{x}$,
若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,
則g′(x)=2+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{2}+x+a}{{x}^{2}}$,
則2x2+x+a≥0在[1,2]恒成立,
即a≥-2x2-x在[1,2]恒成立,
令h(x)=-2x2-x=-2${(x+\frac{1}{4})}^{2}$+$\frac{1}{8}$,x∈[1,2],
h(x)在[1,2]遞減,h(x)max=h(1)=-3,
故a≥-3.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的極值問題,是一道中檔題.

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3.定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(x+1)=f(x-1),且f(x+2)=f(2-x),且f(x)在[-3,-2]上是減函數(shù),如果A,B是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則( 。
A.f(sinA)>f(cosB)B.f(cosB)>f(sinA)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(cosB)>f(cosA)

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4.已知關(guān)于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一個根比1大,另一個根比1小,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
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1.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a}{x}$+$\frac{x}{a}$-(a-$\frac{1}{a}$)lnx(a>0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)證明:當a∈[$\frac{1}{2}$,2]時,函數(shù)f(x)沒有零點(提示:ln2≈0.69,ln3≈1.1).

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8.大衍數(shù)列,來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.其前10項為:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.
通項公式:an=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-1}{2},n為奇數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}}{2},n為偶數(shù)}\end{array}\right.$       
如果把這個數(shù)列{an}排成右側(cè)形狀,并記A(m,n)表示第m行中從左向右第n個數(shù),則A(10,4)的值為3612.

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18.圖中曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象,已知a取$\sqrt{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{10}$四個值,則相應于C1,C2,C3,C4的a值依次為( 。
A.$\frac{4}{3}$,$\sqrt{3}$,$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{10}$B.$\sqrt{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{1}{10}$,$\frac{3}{5}$C.$\sqrt{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{3}{5}$,$\frac{1}{10}$D.$\frac{4}{3}$,$\sqrt{3}$,$\frac{1}{10}$,$\frac{3}{5}$

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5.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且是以2為周期的周期函數(shù),若當x∈[0,1)時,f(x)=2x-1,則f(${log_{\frac{1}{2}}}$5)的值為-$\frac{1}{4}$.

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2.如圖所示,一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km,從點P沿海岸線正東20km處有一個城鎮(zhèn),在點P與城鎮(zhèn)的中點處有一個車站,假設(shè)一個人要從小島前往城鎮(zhèn),若他先乘船到達海岸線上的點P與車站之間(不含車站),則可租自行車到車站乘車去城鎮(zhèn); 若他先乘船到達海岸線上的車站與城鎮(zhèn)之間(含車站),則可乘車去城鎮(zhèn),設(shè)x(單位:km)表示此人乘船到達海岸線處距點P的距離,且乘船費用y與乘船的距離s之間的函數(shù)關(guān)系為:y=$\frac{1}{32}{s^2}$(單位:元)自行車的費用為0.5元/km,乘車的費用為1元/km,此人從小島到城鎮(zhèn)的總費用為w(x)(單位:元).
(1)求w(x)的函數(shù)解析式;
(2)當x為何值時,此人所花總費用 w(x)最少?并求出此時的總費用.

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3.已知二項式${({x+\frac{1}{2ax}})^9}$的展開式中x3的系數(shù)為$-\frac{21}{2}$,則$\int_1^e{({x+\frac{a}{x}})}$dx的值為( 。
A.$\frac{{{e^2}+1}}{2}$B.$\frac{{{e^2}-3}}{2}$C.$\frac{{{e^2}+3}}{2}$D.$\frac{{{e^2}-5}}{2}$

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