2.如圖所示,一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km,從點P沿海岸線正東20km處有一個城鎮(zhèn),在點P與城鎮(zhèn)的中點處有一個車站,假設一個人要從小島前往城鎮(zhèn),若他先乘船到達海岸線上的點P與車站之間(不含車站),則可租自行車到車站乘車去城鎮(zhèn); 若他先乘船到達海岸線上的車站與城鎮(zhèn)之間(含車站),則可乘車去城鎮(zhèn),設x(單位:km)表示此人乘船到達海岸線處距點P的距離,且乘船費用y與乘船的距離s之間的函數(shù)關系為:y=$\frac{1}{32}{s^2}$(單位:元)自行車的費用為0.5元/km,乘車的費用為1元/km,此人從小島到城鎮(zhèn)的總費用為w(x)(單位:元).
(1)求w(x)的函數(shù)解析式;
(2)當x為何值時,此人所花總費用 w(x)最少?并求出此時的總費用.

分析 (1)分類討論,根據條件,建立函數(shù)關系式;
(2)分類求出最小值,即可得出結論.

解答 解:(1)由題意0≤x<10,w(x)=$\frac{1}{32}({x}^{2}+4)+(10-x)×0.5+10$=$\frac{1}{32}{x}^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{121}{8}$,
10≤x<20,w(x)=$\frac{1}{32}({x}^{2}+4)+20-x$=$\frac{1}{32}{x}^{2}-x+\frac{161}{8}$,
∴$w(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{32}{x^2}-\frac{1}{2}x+\frac{121}{8},0≤x<10\\ \frac{1}{32}{x^2}-x+\frac{161}{8},10≤x<20\end{array}\right.$.
(2)當0≤x<10時,$w(x)=\frac{1}{32}{({x-8})^2}+\frac{105}{8}$,當x=8時,w(x)取得最小值 $\frac{105}{8}$,
當10≤x<20時,$w(x)=\frac{1}{32}{({x-16})^2}+\frac{97}{8}$,當x=16時,w(x)取得最小值$\frac{97}{8}$,
所以當x=16時,此人所花總費用最少,為12.125元.

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題,考查分段函數(shù),考查配方法的運用,屬于中檔題.

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