Question

16．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知二面角A₁-BD-A的大小為$\frac{π}{6}$，若空間一條直線l與直線CC₁所成的角為$\frac{π}{4}$
，則直線l與平面A₁BD所成的角的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$
• B． $[\frac{π}{4}，\frac{5π}{12}]$
• C． $[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}）$
• D． $[\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)A作AO⊥BD，連接A₁O，由三垂線定理可得BD⊥A₁O，則∠AOA₁為二面角A₁-BD-A的平面角．把直線l平移到AM，則∠A₁AM=∠MAO=$\frac{π}{4}$．過點(diǎn)A作AP⊥A₁O，則AP⊥平面A₁BD．利用線面角的定義可得：AM（即直線l）與平面A₁BD所成的最大角為∠AMA₁．假設(shè)$∠{A}_{1}AN=\frac{π}{4}$，AN與直線OP相交于點(diǎn)N，則AN（即直線l）與平面A₁BD所成的最小角為∠ANP．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)A作AO⊥BD，連接A₁O，由三垂線定理可得BD⊥A₁O，則∠AOA₁為二面角A₁-BD-A的平面角，∴∠AOA₁=$\frac{π}{6}$．
把直線l平移到AM，則∠A₁AM=∠MAO=$\frac{π}{4}$．
過點(diǎn)A作AP⊥A₁O，則AP⊥平面A₁BD．
∴AM（即直線l）與平面A₁BD所成的最大角為∠AMA₁=∠MAO+∠MOA=$\frac{5π}{12}$．

假設(shè)$∠{A}_{1}AN=\frac{π}{4}$，AN與直線OP相交于點(diǎn)N，則AN（即直線l）
與平面A₁BD所成的最小角為∠ANP=∠PA₁A-∠A₁AN=$\frac{π}{12}$．
∴直線l與平面A₁BD所成角的取值范圍是[$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了二面角的平面角、線面角、三垂線定理、異面直線所成的角，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．