Question

3．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X）=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知：X所有可能取值為0，1，2，3．①8個頂點(diǎn)處的8個小正方體涂有3面，②每一條棱上除了兩個頂點(diǎn)處的小正方體，還剩下3個，一共有3×12=36個小正方體涂有2面，
③每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9×6=54個小正方體涂有一面，④由以上可知：還剩下125-（8+36+54）=27個內(nèi)部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，根據(jù)上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用數(shù)學(xué)期望的計算公式即可得出．

解答 解：由題意可知：X所有可能取值為0，1，2，3．
①8個頂點(diǎn)處的8個小正方體涂有3面，∴P（X=3）=$\frac{8}{125}$，
②每一條棱上除了兩個頂點(diǎn)處的小正方體，還剩下3個，一共有3×12=36個小正方體涂有2面，∴P（X=2）=$\frac{36}{125}$，
③每個表面去掉四條棱上的16個小正方形，還剩下9個小正方形，因此一共有9×6=54個小正方體涂有一面，∴P（X=1）=$\frac{54}{125}$，
④由以上可知：還剩下125-（8+36+54）=27個內(nèi)部的小正方體的6個面都沒有涂油漆，∴P（X=0）=$\frac{27}{125}$．
因此E（X）=3×$\frac{8}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+1$\frac{54}{125}$+0×$\frac{27}{125}$=$\frac{6}{5}$．
故答案為：$\frac{6}{5}$

點(diǎn)評 正確找出所涂油漆的面數(shù)的正方體的個數(shù)及古典概型的概率計算公式、分布列與數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．