Question

20．如圖，在圓柱中，A，B，C，D是底面圓的四等分點(diǎn)，O是圓心，A₁A，B₁B，C₁C與底面ABCD垂直，底面圓的直徑等于圓柱的高．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）（�。┣蠖�面角A₁-BB₁-D的大�。�
（ⅱ）求異面直線AB₁和BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BC⊥平面A₁B₁BA，即可證明BC⊥AB₁；
（Ⅱ）（�。┮訡為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{C{C_1}}$為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，不妨設(shè)圓柱的高為2，求出平的法向量，即可求二面角A₁-BB₁-D的大��；
（ⅱ）求出向量的坐標(biāo)，即可求異面直線AB₁和BD所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)锽₁B⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD，所以BC⊥B₁B，
又因?yàn)樵诘酌鎴AO中，AB⊥BC，AB∩B₁B=B，所以BC⊥平面A₁B₁BA，
又因?yàn)锽A₁?平面A₁B₁BA，所以BC⊥AB₁．…（5分）
（Ⅱ）解：（�。┯蓤A柱性質(zhì)知CB、CD、CC₁兩兩垂直．
以C為原點(diǎn)，以$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{C{C_1}}$為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，不妨設(shè)圓柱的高為2．
則C（0，0，0），$B（0，\sqrt{2}，0）$，O（1，1，0）．…6分
所以平面A₁B₁B的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{CB}=（0，\sqrt{2}，0）$．
平面BB₁D的一個(gè)法向量是$\overrightarrow{CO}=（1，1，0）$．
所以$cos＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}＞=\frac{{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CO}}}{{|{\overrightarrow{CB}}||{\overrightarrow{CO}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（8分）
由圖知二面角A₁-BB₁-D是銳二面角，所以它的大小是$\frac{π}{4}$．…（9分）
（ⅱ）由題意得$A（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，$D（\sqrt{2}，0，0）$，${B_1}（0，\sqrt{2}，2）$．
所以$\overrightarrow{A{B_1}}=（-\sqrt{2}，0，2）$，$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$．
所以$|{cos＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow{BD}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{BD}}|}}{{|{\overrightarrow{A{B_1}}}||{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{{|{-2}|}}{{\sqrt{2+4}\sqrt{2+2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查異面直線所成角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．