Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0．且f（3）=-4．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在R上的奇偶性；
（Ⅲ）在區(qū)間[-9，9]上，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0，可得f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即可得出奇偶性．
（III）任取實(shí)數(shù)x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=-f（x₂-x₁），
利用x＞0時(shí)，f（x）＜0，即可得出單調(diào)性，進(jìn)而得出最值．

解答 解：（I）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
（II）令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（III）任取實(shí)數(shù)x₁、x₂∈[-9，9]且x₁＜x₂，這時(shí)，x₂-x₁＞0，
f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₁）=-f（x₂-x₁），
∵x＞0時(shí)f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[-9，9]上是減函數(shù)．
故f（x）的最大值為f（-9），最小值為f（9）．
而f（9）=f（3+3+3）=3f（3）=-12，f（-9）=-f（9）=12．
∴f（x）在區(qū)間[-9，9]上的最大值為12，最小值為-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．