Question

13．若圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切．
（1）求m的值；
（2）若圓C₁與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在圓C₁上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）利用圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切，求m的值；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），求出四邊形ABNM的面積，P點(diǎn)在圓C₁上，有x₀²+y₀²=4，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）圓C₁的圓心坐標(biāo)（0，0），半徑為$\sqrt{m}$，
圓C₂的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為3，
又兩圓外切得$\sqrt{m}$+3=5，∴m=4．
（2）證明：點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
由題意得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）；點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四邊形ABNM的面積S=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{（4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$，
由P點(diǎn)在圓C₁上，有x₀²+y₀²=4，
∴四邊形ABNM的面積S=4，
即四邊形ABNM的面積為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力與推理論證能力，是中檔題．