Question

【題目】過拋物線上一點作直線交拋物線E于另一點N.

（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長.

（2）不過點M的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點M，問動直線l是否恒過定點．如果有求定點坐標(biāo)，如果沒有請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）有，定點．

【解析】

（1）將點代入拋物線方程求出，可得拋物線方程，求出直線的方程，將直線與拋物線聯(lián)立求出交點，從而利用兩點間的距離公式即可求解.

（2）設(shè)出直線AB的方程：，將直線與拋物線聯(lián)立消，利用，可得，設(shè)，利用韋達定理，結(jié)合，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算整理可得，從而可得，代入直線方程即可求解.

（1）把代入中，得

直線的方程：，

即：與聯(lián)立

得：，

∴，；∴

∴．

（2）設(shè)直線AB的方程為：與聯(lián)立，

得：，

設(shè)，

，即

，

∵，∴

∴

整理得：

代入得：

即

∴（舍去），（符合）

∴直線

∴

即動直線AB經(jīng)過定點．