5.在平面直角坐標系xOy中,直線3x-y+$\sqrt{5}$=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為$\sqrt{14}$
(1)求圓O的方程;
(2)若直線l與圓O切于第一象限,且與坐標軸交于點D、E,當DE長最小時,求直線l的方程;
(3)設(shè)M、P是圓O上任意兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為N,若直線MP、NP分別交x軸于點(m,0)和(n,0),問mn是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

分析 (1)由點O到直線3x-y+$\sqrt{5}$=0的距離d,求出圓O的半徑r,寫出圓O的方程;
(2)寫出直線l的方程,由d=r以及基本不等式求出DE2取最小值時對應(yīng)的方程;
(3)設(shè)出點M、P,根據(jù)對稱性寫出點N,利用圓的方程表示出直線MP、
NP與x軸的交點坐標,得出m、n的值,計算mn即可.

解答 解:(1)因為點O到直線3x-y+$\sqrt{5}$=0的距離為
d=$\frac{|3×0-1×0+\sqrt{5}|}{\sqrt{{3}^{2}{+(-1)}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$,
所以圓O的半徑為r=$\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}{+(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2}}$=2;…(2分)
故圓O的方程為x2+y2=4;…(4分)
(2)設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1(a>0,b>0),
即bx+ay-ab=0;
由已知$\frac{|0+0-ab|}{\sqrt{^{2}{+a}^{2}}}$=2,
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{4}$;…(6分)
所以DE2=a2+b2
=4(a2+b2)($\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$)
=4(2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$)≥16;   …(9分)
當且僅當a=b=2$\sqrt{2}$時取等號,
此時直線l的方程為x+y-2$\sqrt{2}$=0;…(10分)
(3)設(shè)點M(x1,y1),P(x2,y2),
則N(x1,-y1),且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=4${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4,
直線MP與x軸交點為($\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$,0),
則m=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$;  …(12分)
直線NP與x軸交點為($\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$,0),
則n=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$.…(14分)
所以mn=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{1}{-y}_{2}}$•$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$
=$\frac{{{{{x}_{1}}^{2}y}_{2}}^{2}{{{{-x}_{2}}^{2}}_{{y}_{1}}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{(4{{-y}_{1}}^{2}{{)y}_{2}}^{2}-(4{{-y}_{2}}^{2}{{)y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$=4,
故mn為定值4.…(16分)

點評 本題考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題,也考查了點到直線距離的應(yīng)用問題以及求最值的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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乙:10,30,47,27,46,14,26,10,44,46;
(1)畫出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對乙兩種樹苗的高度作比較,寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論;
(2)設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為$\overline{x}$,將這10株樹苗的高度依次輸入,按程序框(如圖)進行運算,問輸出的S大小為多少?并說明S的統(tǒng)計學(xué)意義.
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