Question

5．等邊△ABC在橢圓內(nèi)，A是橢圓中心，B是橢圓的一個焦點，則該橢圓離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{3}$-1）
• B． （$\sqrt{3}$-1，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 利用橢圓方程，點與橢圓的位置關(guān)系，列出不等式，轉(zhuǎn)化求解離心率即可．

解答 解：設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
等邊△ABC在橢圓內(nèi)，A是橢圓中心，B是橢圓的一個焦點，
可得（$\frac{1}{2}c$，$\frac{\sqrt{3}}{2}c$）在橢圓內(nèi)部．
可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}＜1$，可得e⁴-8e²+4＞0，解得e²$＜4-2\sqrt{3}$，
解得e∈（0，$\sqrt{3}-1$）．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．