Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,直線與軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且過(guò)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)且的面積為求直線的方程；

(3)若線段AB的垂直平分線與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），或

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求得，根據(jù)求得的值，可得的方程；

（2）設(shè)的方程為，代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)到直線的距離，利用的面積列方程求解即可；
（3）把直線MN的方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得．由于MN垂直平分線段AB，若MN的中點(diǎn)為H，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于，由此求得m的值，可得直線的方程．

解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，

可得，

點(diǎn)，

，

又，

，求得，或（舍去）。

故C的方程為．

（2）由題意可得，直線和坐標(biāo)軸不垂直，的焦點(diǎn)為，

設(shè)的方程為，代入拋物線方程得

，

顯然判別式，

AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

弦長(zhǎng)

的方程為，即，

到直線的距離為，

解得，

故直線的方程為或

（3）因?yàn)榫�段AB的垂直平分線與C相交于M、N兩點(diǎn)，

設(shè)直線MN的方程為，

把線MN的方程代入拋物線方程可得，

，

故線段MN的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為，

，

∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于，

，

化簡(jiǎn)可得，

，

∴直線的方程為，或．