Question

15．甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判．每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下局當(dāng)裁判，假設(shè)每局比賽中，甲勝乙的概率為$\frac{1}{2}$，甲勝丙、乙勝丙的概率都是$\frac{2}{3}$，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第一局甲當(dāng)裁判．
（1）求第3局甲當(dāng)裁判的概率；
（2）記前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）第2局中可能是乙當(dāng)裁判，也可能是丙當(dāng)裁判，求出對(duì)應(yīng)概率值，
由此能求出第3局甲當(dāng)裁判的概率；
（2）由題意X可能的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，
由此能求出X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）第2局中可能是乙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{1}{3}$，
也可能是丙當(dāng)裁判，其概率為$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲當(dāng)裁判的概率為$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$；…（4分）
（2）由題意X可能的取值為0，1，2；…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，…（7分）
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-$\frac{2}{9}$-$\frac{4}{27}$=$\frac{17}{27}$；…（8分）
∴X的概率分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{27}$	$\frac{4}{27}$

∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{17}{27}$+2×$\frac{4}{27}$=$\frac{25}{27}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率的求法問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．