Question

4．已知等比數列{a_n}的首項a₁=2015，數列{a_n}前n項和記為S_n．
（1）若${S_3}=\frac{6045}{4}$，求等比數列{a_n}的公比q；
（2）在（1）的條件下證明：S₂≤S_n≤S₁；
（3）數列{a_n}前n項積記為T_n，在（1）的條件下判斷|T_n|與|T_n+1|的大小，并求n為何值時，T_n取得最大值．

Answer 1

分析 （1）運用等比數列的通項公式，解方程可得公比q；
（2）求得數列{a_n}前n項和S_n．討論n為偶數和奇數，由單調性，即可得證；
（3）求出|T_n+1|與|T_n|的商，討論當n≤10時，當n≥11時，課比較大小；由T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，即可得到n為何值時，T_n取得最大值．

解答 解：（1）等比數列{a_n}的首項a₁=2015，公比為q，
有${S_3}=2015（1+q+{q^2}）=\frac{6045}{4}$，即${q^2}+q+\frac{1}{4}=0$，解得$q=-\frac{1}{2}$；
（2）證明：由（1）可得S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2015}{1+\frac{1}{2}}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]=$\frac{4030}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
當n為偶數時，S_n=$\frac{4030}{3}$•[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]遞增，即有S_n≥S₂；
當n為奇數時，S_n=$\frac{4030}{3}$•[1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]遞減，即有S_n≤S₁；
S₁＞S₂，則有S₂≤S_n≤S₁；
（3）∵$\frac{{|{{T_{n+1}}}|}}{{|{T_n}|}}=\frac{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}•{a_{n+1}}}|}}{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}}|}}=|{{a_{n+1}}}|=\frac{2015}{2^n}$．
又∵$\frac{2015}{{{2^{11}}}}＜1＜\frac{2015}{{{2^{10}}}}$，∴當n≤10時，|T_n+1|＞|T_n|；
當n≥11時，|T_n+1|＜|T_n|．∴當n=11時，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的較大者，
又∵$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{10}}•{a_{11}}•{a_{12}}={[{2015•{{（{-\frac{1}{2}}）}^{10}}}]^3}＞1$，∴T₁₂＞T₉．
因此當n=12時，T_n最大．

點評 本題考查等比數列的定義和通項公式的運用，以及考比數列的單調性的運用，以及分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．